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8和9，就是一个立方数紧紧挨着平方数的例子。
那么，数学家自然会问：还有没有别的立方数，它紧紧挨着一个平方数呢？
我们先在直觉上探索一下，平方数和立方数，当它们越变越大的时候，在所有正整数当中也会越来越稀疏。
就像两个越来越不喜欢出外的人，即使是邻居，也许一开始会打个照面，但之后出门的次数越来越少，也就越来越不可能碰上面。
数学家们甚至猜测，即使不限定于平方数和立方数，就算是任意大于1的次方数，它们“碰面”
也只有8和9这一回。
这就是著名的卡塔兰猜想。
这一猜想由比利时数学家于1844年提出，并在一百多年后的2002年，由罗马尼亚数学家普雷达·米哈伊列斯库通过分圆域与伽罗华模的相关方法证明。
但事实上，这一猜想通过庞氏几何理论，可以很轻松地得到证明。
就像当年阿贝尔通过群论的思想轻松证明高次方程不可能有根解式一样。
但是，如果将在卡塔兰猜想扩大一下，提出这样一个问题：任意一个正整数都能拆分为两个自然数的幂差或者幂和吗？
而ABC猜想，就蕴含着这一猜想的推论！
……
【想要证明ABC猜想，首先得证明费马-卡塔兰猜想！
首先，将正整数问题转化为多项式问题，在数学上，多项式与正整数有一种神奇的相似性：可以做加法、减法、乘法，也可以分解因数，可以求最大公约数和最小公倍数，同样有着唯一分解定理：正整数可以唯一分解成素数的乘积，而多项式也能唯一分解成所谓“不可约多项式”
的乘积。
基本上，在数论中对正整数性质的研究，很多都可以直接搬到多项式上来。
】
……
【对于某个正整数k，假设有两个互质的多项式P，Q，其中P的次数是3k，Q的次数是2k。
复数组成的复平面是一个球面，通过球极平面投影法，可以将复平面转化为只缺一个点的球面。
而后将“∞”
也加到复平面里，就能把球面缺的点补上，得到的就是所谓的“黎曼球面”
。
而黎曼球面上的有理函数，也就是两个多项式的商，实际上就是一个球面覆盖。
通过研究球面覆盖的性质，数学家们就能间接得知对应的有理函数的性质。
】
……
利用有名的莫比乌斯变换
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