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这种关联的原因直到今天也还是一个谜。
但它的存在本身，无疑就进一步增加了黎曼猜想的重要性。
正因为如此，黎曼猜想诞生一百多年以来，吸引了无数数学家前去攀登。
这些努力虽然迄今未能取得完全成功，但是在这过程中却也取得了一些阶段性成果。
其中第一个阶段性成果出现在黎曼猜想问世三十七年后的1896年。
黎曼ζ函数的非平凡零点，容易证明的结果只有一个，那就是它们都分布在一个带状区域上。
法国数学家哈达玛和比利时数学家普森，彼此通过独立手段将那个带状区域的边界剔除掉了。
也就是说，黎曼ζ函数的非平凡零点只分布在那个带状区域的内部，而不包括边界。
这个成果粗看起来似乎微不足道，一个带状区域的边界跟它的内部相比，从面积上讲比例实际上是零。
但它对于研究黎曼猜想来说只是一小步，对于研究另一个数学猜想来说却是巨大的飞跃，因为它直接导致了后者的证明。
那个数学猜想如今已被称为素数定理，它所描述的是素数的大范围分布规律。
素数定理自被提出以来悬而未决已超过一百年，在当时乃是一个比黎曼猜想更令数学界期待的东西。
在上述成果之后又隔了十八年，1914年，丹麦数学家玻尔与德国数学家兰道取得了另一个阶段性成果，那就是证明了黎曼ζ函数的非平凡零点倾向于“紧密团结”
在临界线的周围。
这个结果用数学语言来说，就是包含临界线的无论多么窄的带状区域都包含了黎曼ζ函数的几乎所有的非平凡零点。
不过“紧密团结”
归“紧密团结”
，这一结果却不足以证明任何一个零点恰好就在临界线上，因此它距离黎曼猜想的要求仍然相差很远。
但就在那同一年，另一个阶段性成果出现了：英国数学家哈代终于将“红旗”
插上了临界线——他证明了黎曼ζ函数有无穷多个非平凡零点位于临界线上。
粗看起来，这似乎是一个非同小可的结果，因为黎曼ζ函数的非平凡零点总共就是无穷多个，而哈代证明了有无穷多个零点位于临界线上，从字面上看，两者已经一模一样了。
可惜的是，“无穷”
是数学中一个很微妙的概念，同样是无穷，彼此却未必是一回事。
1921年，哈代与英国数学家李特伍德合作，对自己七年前那个结果中的“无穷”
做出了具体估计。
按照他们的具体估计，已被证明为位于临界线上的“无穷多个非平凡零点”
跟全部非平凡零点相比，究竟占多大的百分比呢？
答案令他们沮丧：百分之零！
数学家们将这个百分比推进到一个大于零的数字是在二十一年后的1942年。
那一年，挪威数学家赛尔伯格终于证明了这个百分比大于零。
赛尔伯格做出这项成果时正值第二次世界大战的硝烟在欧洲各地弥漫，他所在的挪威奥斯陆大学几乎成了一座孤岛，连数学期刊都无法送达。
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