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图8-1-1双因子结构示意图
这里不得不提到的一个与双因子模型非常相似的模型，便是二阶因子模型。
因为当研究者不仅关注一般因子，同时还关注特殊因子时，除了可以使用双因子模型外，还有学者会选择使用二阶因子模型。
二阶因子模型如图8-1-2所示：
图8-1-2二阶因子结构示意图
尽管一些早期的研究表明，双因子模型与二阶因子模型之间在数学上等价，但是后来的研究却指出了二者之间的这种数学上的等价是需要具备一定的条件的，并不是在所有的情况下二者都能够等价。
由此可见，尽管二者之间具有相似性，但二者并不是完全等同的。
Reise，Morizot和Hays（2007）的研究表明：
第一，在双因子模型中，题目大部分的方差是由一般因子解释的，二阶因子解释的是一阶因子的共同变异，而不是观察变量（题目）的变异。
第二，双因子模型中的一般因子和特殊因子都是在同一概念水平上的（都是在题目水平上的变量），而在二阶因子模型中，二阶因子和一阶因子并不是定义在同一水平上，一阶因子定义在题目水平上，而二阶因子则定义在一阶因子上。
相比于二阶因子模型，双因子模型所具有的优势主要是：
第一，双因子模型的限制少于二阶因子模型。
第二，在双因子模型中，能够检验特殊因子的作用，并且能够识别出不显著的因子；但在二阶因子中，没有作用的特殊因子可能会因为二阶因子的掩盖，不能被识别出来。
第三，在双因子模型中能够检验特殊因子与题目之间的关系，而在二阶因子模型中，就没有办法进行检验，因为特殊因子在二阶因子模型中是用一阶因子的干扰项表示的。
第四，双因子模型能够检验特殊因子对外部指标的预测作用，因为双因子模型中，特殊因子是作为独立的因子存在的，而在二阶因子模型中也能够验证特殊领域对外部预测指标的作用，但是需要采用非标准化的结构方程模型，这种模型在很多软件中都没有提供，因此，对于大多数研究者而言不便于计算和分析。
第五，双因子模型除了能够检验一般因子在不同样本群体上的不变性外，还能够检验特殊因子在不同样本群体上的不变性，而在二阶因子模型中就只能检验二阶因子的样本不变性。
第六，在双因子模型中，研究者能够直接检验一般因素和特殊因素潜在特质水平在不同样本群体之间的均值差异，而在二阶因子模型中，就只能比较二阶因子在不同样本群体上的均值差异。
首先，尽管双因子和二阶因子模型均能很好地拟合数据，但是二阶因子并不能直接解释题目的变异，即二阶因子虽然与一般因子相似，但它不是直接建立在观测指标上，而是建立在一阶因子上的，二阶因子反映的也主要是一阶因子之间的一致性。
其次，二阶因子定义在一阶因子上，由于一阶因子本身存在误差，二阶因子上也存在误差，就可能会导致二阶因子测量误差较大。
最后，由于二阶因子模型的特点，在二阶因子模型中难以估计特殊因子，因此无法检验特殊因子的效应，难以比较不同样本下特殊因子的不变性和差异。
总之，相较于二阶因子模型，双因子模型在分析一般因子与特殊因子作用的过程中，具有明显的优势。
（二）全息项目双因子模型
在前文中已经提到，传统的因素分析均是基于经典的线性分析，以相关矩阵的计算为基础，所以可能会存在前文中所说的产生虚假因子、高估因子个数、数据信息使用不全之类的问题。
同样地，传统的验证性因素分析也是基于相关矩阵进行的，因此也会存在数据信息使用不够充分的问题。
同时，由于FIIFA模型仍然是基于探索性因素分析思路的模型，这种探索性因素分析的模型具有的不足在于无法根据先验的信息，指定题目和因子之间的关系，对于探索出的因子结构的理解相对主观，由于上述不足，基于验证性因素分析模型的IRT模型应运而生。
这一模型既避免了线性分析存在的弊端，也弥补了探索性模型的不足。
作为一种基于验证性因素分析的IRT模型，它的优势在于能够提供统计意义明确的心理结构，可以根据理论要求建构心理结构模型。
双因子模型的IRT模型就是这样一种基于验证性因素分析的IRT模型。
1992年，Gibbons和Hedeker（1992）针对二值反应数据开发了一个双因子IRT模型，这个模型就是：全息项目双因子分析（FIIBFA）。
这是第一个根据多维数据估计题目参数的验证性IRT模型。
这个模型根据先验的理论结构，来研究观测变量和潜在变量之间的关系。
在FIIBFA模型下，每一个题目都与一个一般因素和一个特殊因素相关联，相较于前面的FIIFA模型，无论模型中包含多少个维度，FIIBFA模型都只需要进行两重积分，极大地简化了运算的复杂程度（Gibbons＆Hedeker，1992；Gibbons，Immekus＆Bock，2007；Weiss＆Gibbons，2007；Seo，2011；Zheng，g＆g，2013）。
通过将似然函数简化，FIIBFA模型的假设允许一个模型有许多特殊因素，但是这些因素之间是正交的，因此，FIIBFA相较于FIIFA就更容易处理。
从这个角度来看，双因子IRT模型是多维IRT模型的一个特例。
为什么说双因子IRT模型是多维模型的一个特例呢？这里需要对测验的维度可能存在的情况进行一些说明。
在一些量表或问卷中，测验测度的情况主要包括下面几种。
1.单维模型
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