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其中τi是第i题的阈限。
这里以二级计分的题目作答为例，当Xji≥τi时，被试j在第i题上做出正确作答，记为uji=1；而当Xji＜τi时，被试j在第i题上出现错误作答，记为uji=0。
σ2i的计算分两种情况：
如果特质不相关，则
如果特质相关，则
为了简化似然函数的表达式，可以将反应函数中的载荷和阈限转换为截距和斜率，即
根据公式（8.1.5），全息项目因素分析模型下的因子载荷（λi）和阈限值（τi）与两参数Logistic（2PL）模型下的区分度参数（ai）和截距参数（di）就被关联起来了，两套参数之间可以相互转化，以二级计分的数据为例，即
其中
因为在FIIFA模型中参数计算相对复杂一些，因此在一些实际应用中，会计算IRT模型下的ai参数和di参数，从而能够获得全息项目因素分析模型下的λi参数和τi参数。
相较于国内的研究，国外对FIIFA模型的研究要更多也更早一些。
Bo（1981）最早对全息项目因素分析模型进行了描述。
他们采用的数据为二值计分的数据，构建了全息项目因素分析的模型。
除此之外，他们还探索和比较了极大似然估计、最大后验估计和期望后验估计三种估计潜在特质水平的方法。
这个研究算是此类研究中比较早的种子研究，Bock和Mislevy（1982）也进行了后续的研究，并且表明了相对于其的估计方法——期望后验估计具有更好的特性。
Muraki和Engelhard（1985）介绍了EAP算法在全息项目因素分析中的应用，并将全息项目因素分析用到了美国士兵职业倾向成套测验中（ArmedServicesVoalAptitudeBattery，ASVAB）；Bouraki（1988）也进行了扩展性的研究，在他们的研究中，研究者采用了边际极大似然估计和EM算法并实现了该模型，丰富和扩展了全息项目因素分析模型。
当然有关全息项目因素分析模型研究还不止于此。
国内也有学者对这个领域展开了探索。
例如，王权和李金波（2002）就对全息项目因素分析模型进行了比较全面的介绍，从数学模型到相应的参数估计方法都有所涉及。
除了王权以外，俞宗火等人也对这个模型进行了简要的介绍，并就其在心理学中的应用提出了一些思路。
例如，在其后续的研究中，以EPQ为例，比较了传统法的经典线性因素分析和全息项目因素分析，为全息项目因素分析在心理学研究中的应用提供了实证支持（俞宗火，戴海琦，2005）。
二、基于验证性因素分析模型的研究现状
因子分析IRT将因素分析和IRT理论相结合，从而克服了测验结构单维性的假设，这是这一模型所具有的重要优势，然而大多数因子分析IRT都存在这样的不足。
首先，这些模型都基于探索性因素分析。
例如，全息项目因素分析并不使用先验信息来决定潜在特质的数量，这个模型也不能让我们指定题目和因子之间的一一对应关系。
使用者在使用这个模型时，需要不断地探索，直到找到最理想的状态，从而得到与理想的因子结构相应的参数。
其次，对探索出的因子结构的理解也是基于主观的，对于得到的因子结构，我们并没有办法根据理论构想来命名，而只能根据对题目类别的理解来提出对因子结构的命名。
因此，一些基于验证性因素分析的IRT模型也开始被提出，其中，基于双因子模型的IRT模型就是这类模型中的一个典型代表。
（一）双因子模型
双因子模型（Bifaodel）又被称为全局-局部因子模型（General-specifiodel）或是嵌套模型（edModel）（，West＆Sousa，2006；顾红磊，温忠麟，方杰，2014）。
最早关于双因子模型的思想是由斯皮尔曼（Spearman）提出的。
斯皮尔曼对智力成分进行分析的过程中，他明确提出了二因素说，即能力由一般能力和特殊能力构成，一般能力是人们从事大多数智力活动时，都会运用到的认知能力，而特殊能力则是指人们在从事某一种具体的工作、活动时所运用到的区别于一般性认知能力的认知能力。
尽管斯皮尔曼在其智力的研究中提出了有关二因素的思想，但是其理论还是一种早期的思想体系。
真正从统计测量学的角度提出双因子模型则是在1937年，Holzinger和Swineford（1937）最早将“双因子（bifactor）”
一词用到了测量心理特质的测验中。
双因子模型和二因素说之间存在着紧密的联系，就如同Holzinger和Swineford在其论文中说道：“双因子模型是在斯皮尔曼的二因素模型的基础上进行的拓展。”
Holzinger和Swineford对双因子模型的定义是：所有的变量都能由公共因子和特殊因子解释，并且两者都能作为一阶的因子，双因子模型假设特殊因子独立于公共因子，并且一个题目只能在多个特殊因子中的一个特殊因子上的载荷非零。
例如，一个由9个题目、3个特殊因素组成的双因子载荷模式如下：
双因子结构如图8-1-1所示：
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